Моделювання в'язких течій методом граткових рівнянь Больцмана при помірних та великих числах Рейнольдса

Abstract

Остапенко А. О. Моделювання в’язких течій методом граткових рівнянь Больцмана при помірних та великих числах Рейнольдса. – Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 «Математичне моделювання та обчислювальні методи» (технічні науки). – Інститут телекомунікацій і глобального інформаційного простору Національної академії наук України, м. Київ, 2020. Дисертацію присвячено теоретичним та практичним аспектам методу граткових рівнянь Больцмана. Даний метод використовує кінетичний підхід до моделювання течій в’язкої рідини. Рух рідини розглядається як рух ансамблю крупних частинок, поведінка яких описується за допомогою апарату кінетичної теорії газів. На відміну від класичних методів, що базуються на чисельному розв’язку рівнянь Нав’є - Стокса або Ейлера, досліджуваний метод базується на розв’язку кінетичного рівняння Больцмана. Перший розділ дисертації присвячено огляду наукової літератури за темою досліджень. Розглянуті основні підходи при моделюванні динаміки рідини та етапи розвитку дискретних моделей рідини. Розглянуто основні елементи апарату кінетичної теорії газів, на базі яких будуються чисельні схеми методу граткових рівнянь Больцмана (LBM). Проведено аналіз існуючих наукових робіт з даної тематики. Розглянуті переваги, недоліки, етапи розвитку та перспективи методу граткових рівнянь Больцмана. Аналіз результатів першого розділу дав змогу сформулювати задачу дисертаційного дослідження: розвинути метод граткових рівнянь Больцмана для отримання стійких розв’язків за менший проміжок часу при моделюванні течій в’язкої рідини з помірними та великими числами Рейнольдса. У другому розділі докладно описується досліджуваний метод: його стан і можливості, чисельні схеми, стійкість, обґрунтування та програмна реалізація. Розкривається сутність мезоскопічного рівня абстракції в описі рідини. Описані переваги методу: явний і лінійний вид рівнянь, інтуїтивно зрозумілі кроки алгоритму, можливість застосування технологій паралельних обчислень. Запропоновано вдосконалений алгоритм методу, в якому в’язкість рідини вводиться через граткову швидкість частинок. Оптимізовано чисельний алгоритм на етапі переміщення частинок шляхом трансформації розрахункової сітки у сферу даних – абстрактний тип даних, у якому немає граничних комірок. У третьому розділі дисертації досліджуються методи задання початкових і граничних умов для прикладних задач. Розглядаються циклічні граничні умови, умови прилипання, рухомої стінки, потоку і стоку рідини, граничні умови в задачі про круговий циліндр, що обертається. Розвинуті чисельні схеми для умов стоку рідини і кругового циліндра, що обертається. Показано, що при використанні сфери даних, як структури, що зберігає значення функції розподілу частинок, циклічні граничні умови задаються автоматично без введення додаткових чисельних схем. Детально розглянуто та модифіковано чисельну схему для реалізації умови прилипання, що зазвичай задається за допомогою схеми зворотного відображення частинок. Недоліком такого підходу є поява пульсацій швидкостей поблизу границь обтічного тіла. Для усунення недоліку схема зворотного відображення частинок доповнена схемою миттєвого дзеркального відображення. Доповнена схема граничної умови прилипання дозволяє більш точно моделювати поведінку частинок біля границі, оскільки відбувається плавна зміна швидкості від її значення біля тіла обтікання до нуля на стінках тіла. Частинки в граничному шарі повертаються в потік на тому ж часовому кроці. У четвертому розділі дисертації представлено програмно-моделюючу систему, що була створена у MS Visual Community 2015 на мові програмування С++ із застосуванням технології паралельних обчислень на центральному процесорі OpenMP. Досліджено вплив параметрів методу на стійкість та точність розв’язків на прикладних задачах. Визначено вплив параметра релаксації на стійкість розв’язків та швидкість обчислень модифікованого алгоритму. Проведено дослідження щодо меж застосування розвинутого та класичного алгоритмів (на основі скрипта, написаного phD університета Женеви J. Latt у пакеті MatLab). Основні результати п’ятого розділу показують розширення меж застосування методу LBM на порядок: від малих чисел Рейнольдса Re ~ 10 до помірних Re ~102. У п’ятому розділі дисертації показані результати моделювання течій із помірними та великими числами Рейнольдса. Для розв’язку задач із великими числами Рейнольдса запропоновано метод регуляризації чисельного розв’язку. Метод заснований на корекції значення функції в точці простору відповідно до сусідніх значень. У основі такої корекції лежить медіанна фільтрація. Метод регуляризації протестований на класичній задачі про обтікання кругового циліндра у діапазоні чисел Рейнольдса від Re=500 до Re=20000. Порівняння чисельних розв’язків показало добру узгодженість результатів моделювання методом LBM (діаграм швидкостей, ліній течії, коефіцієнтів лобового опору) із результатами інших чисельних розв’язків, що були отримані методом скінчених елементів. Проведено дослідження обтікання профілю Nasa 0012 течією в’язкої рідини із різними кутами атаки. Отримані результати можна використати при проектуванні мініатюрних літальних апаратів. Проведено комп’ютерне моделювання гемодинаміки. Проведено моделювання аномалій артерій, їх ролі і місця в порушеннях кровообігу. Основні результати п’ятого розділу показують розширення меж застосування методу LBM: від малих чисел Рейнольдса Re ~10 до великих Re ~104. Таким чином, в дисертаційному дослідженні розвинено метод граткових рівнянь Больцмана для отримання стійких розв’язків за менший проміжок часу при моделюванні течій в’язкої рідини з помірними та великими числами Рейнольдса. Створено програмно-моделюючу систему для комп’ютерного моделювання течій в’язкої рідини в областях довільних конфігурацій. Результати моделювання можуть буди отримані у вигляді таблиць значень швидкостей, як по всій обчислювальної області, так і в перерізах, у вигляді кольорових діаграм, ліній течії і у вигляді значень гідродинамічних коефіцієнтів обтічних тіл. Робота підготовлена в межах держбюджетних програм (2016, 2017, 2019 рр.) кафедри вищої та прикладної математики факультету інформаційних технологій державного вищого навчального закладу «Приазовський державний технічний університет». Результати досліджень впроваджено у навчальний курс «Аналітичні та чисельні методи гідродинаміки» для студентів 5 курсу денної форми навчання спеціальності 113 – «Прикладна математика» кафедри вищої та прикладної математики ДВНЗ «Приазовський державний технічний університет», а також у навчальний курс «Моделювання складних систем» для бакалаврів спеціальності 122 – «Комп’ютерні науки» кафедри комп’ютерних наук та вищої математики Донецького державного університету управління. Отримане авторське свідоцтво на розроблену комп’ютерну програму (№ 89549 від 06.06.2019).